LaTeX 数学公式

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📘 LaTeX 语法

📐 1. LaTeX 数学模式

1.1. 行内数学模式

在文本中插入数学公式：

$E=mc^2$

行内模式的数学公式，适用于正文中的数学表达。

1.2. 独立数学模式

使数学公式独占一行：

$$
E=mc^2
$$

独立模式的数学公式，适用于单独一行的数学表达。

1.3. 带编号公式

\begin{equation}
E=mc^2
\end{equation}

带有编号的数学公式，适用于论文或报告中公式引用。（Markdown中可能无法显示编号 ）

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🔣 2. 保留字符

LaTeX 环境中具有特殊含义的保留字符，不能直接使用，必须通过指定的语法实现：

符号	LaTeX 代码	中文说明
#	\#	井号，数学环境中无特殊含义
$	\$	美元符号，通常用于货币符号
%	\%	百分号，表示百分比
&	\&	与符号，通常用于逻辑表达
_	\_	下划线，LaTeX 需要转义
{}	\{ \}	花括号，用于分组
\	\backslash	反斜杠，LaTeX 转义符

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🔠 3. 希腊字母

3.1. 小写希腊字母

符号	LaTeX 代码	中文音译
	\alpha	阿尔法
	\beta	贝塔
	\gamma	伽马
	\delta	德尔塔
	\epsilon	艾普西龙（普通 epsilon）
	\varepsilon	伪艾普西龙（变体 epsilon）
	\zeta	截塔
	\eta	伊塔
	\theta	西塔
	\vartheta	变体西塔
	\iota	约塔
	\kappa	卡帕
	\lambda	兰布达
	\mu	缪
	\nu	纽
	\xi	克西
	\pi	派（圆周率）
	\varpi	变体派
	\rho	罗
	\varrho	变体罗
	\sigma	西格玛
	\varsigma	终结西格玛（变体 sigma）
	\tau	陶
	\upsilon	宇普西龙
	\phi	菲
	\varphi	变体菲
	\chi	氚（发音接近“开”）
	\psi	普赛
	\omega	欧米伽

3.2. 大写希腊字母

符号	LaTeX 代码	中文音译
	\Gamma	伽马（大写）
	\Delta	德尔塔（大写）
	\Theta	西塔（大写）
	\Lambda	兰布达（大写）
	\Xi	克西（大写）
	\Pi	派（大写，数学常用于求和）
	\Sigma	西格玛（大写，数学常用于求和）
	\Upsilon	宇普西龙（大写）
	\Phi	菲（大写）
	\Psi	普赛（大写）
	\Omega	欧米伽（大写，数学物理常用）

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➗ 4. 二元运算符

符号	LaTeX 代码	中文说明
	+	加号
	-	减号
	\times	乘号
	\div	除号
	\cdot	乘积点
	\oplus	直和（用于向量空间、群论）
	\ominus	直差
	\otimes	直积
	\oslash	直除
	\odot	圆点乘法
	\star	星乘法
	\circ	复合映射
	\bullet	实心点（乘法或列表符号）
	\pm	正负号
	\mp	负正号
	\bigoplus	直和运算符（大运算符版本）
	\bigotimes	直积运算符（大运算符版本）
	\bigodot	直乘运算符（大运算符版本）

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⚖️ 5. 二元关系符

符号	LaTeX 代码	中文说明
	=	等于
	\neq	不等于
	\approx	约等于
	\equiv	恒等于
	<	小于
	>	大于
	\leq	小于等于
	\geq	大于等于
	\ll	远小于
	\gg	远大于
	\prec	先于（偏序关系）
	\succ	后于（偏序关系）
	\preceq	小于等于（偏序）
	\succeq	大于等于（偏序）
	\sim	相似于
	\nsim	不相似
	\simeq	同构
	\asymp	渐近等于
	\propto	成比例

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🧠 6. 逻辑符号

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\wedge	逻辑与（合取）
	\vee	逻辑或（析取）
	\neg	逻辑非（否定）
	\Rightarrow	蕴含（如果…那么）
	\Leftrightarrow	当且仅当
	\forall	对所有
	\exists	存在
	\nexists	不存在
	\top	逻辑真
	\bot	逻辑假

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📦 7. 集合符号

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\emptyset	空集
	\in	属于
	\notin	不属于
	\subseteq	子集
	\subset	真子集
	\nsubseteq	不是子集
	\supset	包含
	\supseteq	超集
	\nsupseteq	不是超集
	\cup	并集
	\cap	交集
	\setminus	差集
	\bigcup	大并集
	\bigcap	大交集

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↔️ 8. 箭头符号

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\to	右箭头
	\leftarrow	左箭头
	\Rightarrow	右蕴含箭头
	\Leftarrow	左蕴含箭头
	\leftrightarrow	左右箭头
	\Leftrightarrow	双向蕴含箭头
	\longrightarrow	长右箭头
	\longleftarrow	长左箭头
	\mapsto	映射箭头
	\longmapsto	长映射箭头
	\uparrow	向上箭头
	\downarrow	向下箭头
	\updownarrow	上下箭头
	\Uparrow	向上双箭头
	\Downarrow	向下双箭头
	\Updownarrow	上下双箭头

🔢 9. 分数

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\frac{a}{b}	普通分数
	\dfrac{a}{b}	强制分数（适用于行内公式）
	\tfrac{a}{b}	小型分数（适用于较小的公式）

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✔️ 10. 根式

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\sqrt{x}	平方根
	\sqrt[n]{x}	n 次方根

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📈 11. 指数与对数

符号	LaTeX 代码	中文说明
	a^b	指数
	e^x	自然指数
	\log x	对数（默认底数为10）
	\ln x	自然对数（底数为 e）
	\log_a b	底数 a 的对数

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📉 12. 微分与导数

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\frac{d}{dx} f(x)	一阶导数
	\frac{d^2}{dx^2} f(x)	二阶导数
	\frac{\partial f}{\partial x}	偏导数
	\nabla f	梯度
	\Delta f	拉普拉斯算子
	\dot{x}	一阶导数（牛顿记号）
	\ddot{x}	二阶导数（牛顿记号）

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🔝 13. 极限

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\lim_{x \to a} f(x)	极限
	\lim_{x \to \infty} f(x)	无穷极限

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∫ 14. 积分

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\int f(x)dx	不定积分
	\int_{a}^{b} f(x)dx	定积分
	\iint f(x,y)dxdy	二重积分
	\iiint f(x,y,z)dxdydz	三重积分

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✍️ 15. 矩阵

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}	方括号矩阵
	\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}	圆括号矩阵
	\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}	行列式
	\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}	双竖线矩阵
	\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}	无括号矩阵

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➡️ 16. 向量

16.1 向量的加粗表示

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\mathbf{v}	向量，适用于字母
	\bm{v}	加粗向量（适用于所有数学符号，需 \usepackage{bm}）
	\boldsymbol{\alpha}	加粗希腊字母（适用于 \alpha, \beta 等）

16.2. 向量的箭头表示

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\vec{v}	向量符号，表示带箭头的向量
	\overrightarrow{AB}	表示从 A 指向 B 的向量
	\overleftarrow{AB}	表示从 B 指向 A 的向量

16.3 单位向量

单位向量表示方向向量，通常用 加帽符号：

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\hat{v}	单位向量
	\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}	直角坐标系中的标准基向量

16.4 向量的点积与叉积

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}	向量的点积
	\mathbf{a} \times \mathbf{b}	向量的叉积

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🔄 17. 方程与方程组

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\begin{align} x + y &= 2 \\ x - y &= 0 \end{align}	对齐的方程组
	\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}	分段定义或方程组

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✏️ 18. 空格与换行

符号	LaTeX 代码	中文说明
	a\ b	小空格
	a\quad b	大空格
	a\qquad b	超大空格
	a\\ b	换行
	a\,b	细小空格
	a\!b	负空格（缩小间距）
	\text{This is a~test.}	硬空格

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🎨 19. 颜色

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\textcolor{red}{text}	颜色（红色）
	\textcolor{blue}{text}	颜色（蓝色）
	\color{green}text	颜色（绿色）

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🖍️ 20. 字体

符号	LaTeX 代码	中文说明
	\mathbf{x}	加粗
	\mathit{x}	斜体
	\mathcal{L}	手写体
	\mathbb{R}	黑板体（常用于数集）
	\mathrm{x}	直立体
	\mathtt{x}	打字机字体
	\mathscr{L}	花体（数学符号）

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💎完整示例

🌊 1. 线性代数

1.1 矩阵乘法

给定两个矩阵 和 ，它们的矩阵乘法定义如下：

$$
C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p}
$$

说明：矩阵 的元素 由矩阵 的第 行与矩阵 的第 列按对应元素相乘后求和得到。

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1.2 特征值与特征向量

对于方阵 ，如果存在非零向量 和标量 使得：

$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$

则称 为矩阵 的特征值， 为对应的特征向量。

说明：当矩阵 作用于向量 上时， 仅仅被缩放（即乘以特征值 ），方向不变。

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1.3 奇异值分解（SVD）

任意矩阵 可分解为：

$$
A = U \Sigma V^T
$$

其中：

• 是正交矩阵，
• 是正交矩阵，
• 是对角矩阵，包含奇异值 。

说明：奇异值分解（SVD）是一种强大的矩阵分解方法，广泛用于降维、压缩、信号处理等。

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🎲 2. 概率统计

2.1 贝叶斯定理

对于事件 和 ，如果 ，则贝叶斯定理表示为：

$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}
$$

说明：贝叶斯定理是概率论中最重要的公式之一，广泛用于机器学习、医学诊断、自然语言处理等领域。

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2.2 期望与方差

2.2.1 期望

设随机变量 服从概率分布 ，则：

$$
\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x)
$$

说明：数学期望表示随机变量 的加权平均值，即它的平均趋势。

2.2.2 方差

随机变量 的方差定义为：

$$
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]
$$

说明：方差度量了随机变量 偏离均值的程度，方差越大，数据的离散性越强。

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2.3 高斯分布（正态分布）

随机变量 服从均值 ，方差 的高斯分布（正态分布），其概率密度函数（PDF）为：

$$
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$

说明：高斯分布是最重要的概率分布之一，在自然科学、工程、机器学习等领域中应用广泛。

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🤖 3. 机器学习

3.1 线性回归模型

在线性回归模型中，如果试图找到一个线性函数来拟合数据点 ，那么数学表达式如下：

$$
y = w^T x + b
$$

使用最小二乘法（OLS）来估计参数 ，会用到最小化均方误差（MSE）：

$$
L(w, b) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w^T x_i + b))^2
$$

说明：线性回归是机器学习最基础的回归模型，在统计建模、预测分析等领域广泛应用。

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3.2 Kullback-Leibler (KL) 散度

KL 散度用于衡量两个概率分布 和 之间的差异，定义如下：

$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}
$$

或者对于连续概率分布：

$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx
$$

说明：KL 散度用于衡量两个概率分布之间的相对熵，在信息论、概率统计、机器学习等领域中应用广泛。